Geometría Euclidiana

Biografía de Euclides
Después de la muerte de Alejandro Magno y de las incesantes disputas de los generales del ejército por el poder, Egipto queda en manos de Plotomeo I y éste dirigió su atención a la formación de una escuela en Alejandría. La misma fue conocida como el museo.
Entre los sabios que enseñaban en la escuela se encontraba Euclides, también conocido como Euclides de Alejandría.
A pesar de su vital importancia en el desarrollo de la matemática, poco se conoce con certeza de él.
Una de las bases más confiables acerca de la vida de Euclides, la proporcionó Proclo, quién describe su vida y sus estudios, de esta manera:

“…No mucho más joven que Hermótimo de Colofón y Filipo de Medma, alumnos de Platón, es Euclides, quien juntó con los 'Elementos', ha ordenando muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionó muchos de los de Teateto y también demostró irrefutablemente las cosas que habían sido probadas no tan estrictamente por sus predecesores. Este hombre vivió en tiempos del primer Ptolomeo; Arquímedes, quien siguió de cerca al primer Ptolomeo menciona a Euclides y dicen además que Ptolomeo alguna vez le preguntó si había una manera más corta de estudiar geometría que los Elemento, a lo cual respondió que no había un Camino Real hacia la geometría (…) En sus metas era un platónico, simpatizante de esta filosofía, (….)”.

Se especula entonces que su nacimiento data, aproximadamente, del 325 a.C. y su muerte en el 265 a.C. y podemos saber con certeza, que fue a la escuela de Platón.


Pappus de Alejandría[1], comentador de muchas obras matemáticas de la antigüedad, cuenta de Euclides: “(…) era de carácter dócil, un hombre de estudio genial y escrupulosamente honrado, siempre dispuesto a reconocer el trabajo original de otros, y visiblemente amable y paciente. Su modestia y su sentido común iban a la par con su interés por el desarrollo de la matemática (….).”
Se dice también que Euclides era un excelente expositor, y algunos atribuyen a esto, el éxito de su obra, los Elementos.

Los Elementos

Es, sin lugar a duda, un legado de excelencia que nos han dejado nuestros antepasados, y no es sólo un parecer de quién suscribe esta historia. De Euclides y sus Elementos nos cuentan:

“Euclides era platónico, (...) mejoró los trabajos de Teeteto, (…), se propuso como objetivo final del conjunto de sus Elementos la construcción de los cinco poliedros regulares"[2]

“Los Elementos de Euclides constituyen la composición científica mas antigua y extensa que nos halla llegado en una integridad casi perfecta; y suerte singular composición de una ciencia que no ha cambiado desde entonces sus fundamentos; de modo que su lectura, todos lo saben, ha quedado en todo actual; suerte singular, repito, cuando pensamos que no le han faltado a veces , y aún en tiempos recientes, los ataques de empirismo para quitarle su aureola de verdad física, los que sin embargo han dejado inalterada su importancia como verdad práctica y como fundamento teórico de toda matemática”[3]

“Euclides es sin lugar a dudas, uno de los tres mayores matemáticos de la antigüedad (….).
Los Elementos ha sido la primera obra matemática fundamental que ha llegado hasta nuestros días, el texto más venerado que mayor influencia ha tenido en toda la historia de la Matemática” [4]
“En su tiempo pasaron casi desapercibidos ambos, obra y autor. Sin embargo, con el correr de los siglos, el influjo de los Elementos sobre la historia de la humanidad fue mucho mayor que el de las victorias de Alejandro…” [5]

Los Elementos es una obra de textos introductorios para estudiar en la Escuela ó Universidad de Alejandría. En él Euclides plasmó todos los conocimientos matemáticos de la época, sobre aritmética, geometría sintética y álgebra, cubriendo así toda la matemática elemental. También demostró en él cientos de proposiciones.
Se estipula que el arte de calcular no está incluido en Los Elementos, ya que ésto no se enseñaba en la universidad. Asimismo sorprende la rigurosidad lógica con la que Euclides expuso los fundamentos de esta obra.
Es el segundo libro mas editado de la historia, siguiéndole a la Biblia, con más de mil ediciones. La primera versión impresa apareció en Venecia en 1482 y fue una traducción del árabe al latín. En 1505 se publica la primera versión en latín traducida directamente del griego. Y sirve de base al día de hoy para estudios sobre geometría.

Esta obra se compone de trece libros de los cuales los primeros seis abarcan el tema: Geometría Plana, los tomos que van del VII al IX tratan sobre Teoría de Números, el X trata sobre Los Inconmensurables y finalmente, del libro XI al XIII, se abarca la Geometría de Sólidos Platónicos.

Primer Libro.
Este libro comienza abruptamente con una lista de veintitrés definiciones. Entre ellas encontramos: punto, línea en general, línea recta, ángulos, figura, círculo, triángulos equiláteros, isósceles y escalenos, cuadriláteros y rectas paralelas.

Para Euclides, “punto es aquello que no tiene partes”, línea es una “longitud sin anchura”, recta: “línea que yace igualmente sobre sus puntos”, figura es: “aquello que está comprendido por uno ó varios límites” y circulo es: “una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí”.

Luego de éstas y otras definiciones, Euclides nos presenta una lista de cinco postulados y cinco nociones comunes. En lo que refiere a los postulados encontramos:
“Postúlese lo siguiente:
1.Trazar una recta desde un punto a otro.
2.Prolongar una línea recta finita de manera continua a otra recta.
3.Describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4.Que todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado”.

En cuanto a las nociones comunes:
“Nociones Comunes:
1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
2. Si iguales se suman a iguales, los resultados son iguales.
3. Si iguales se restan a iguales, los resultados son iguales.
4. Cosas que coinciden una con otra, son iguales entre sí.
5. "El todo es mayor que la parte”.

A continuación de las nociones comunes encontramos los teoremas y problemas, que están respectivamente demostrados y resueltos con el rigor lógico pertinente, apoyándose solamente en los postulados y las construcciones con regla y compás. Entre estos problemas y teoremas se destacan: la congruencia de triángulos, Euclides escribe en las proposiciones 4, 8 y 26 respectivamente: “Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales”, “Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por los segmentos iguales”, “Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivos iguales, y uno de los lados, el que une los dos ángulos iguales o el opuesto a uno de los ángulos iguales, entonces los lados que quedan son iguales y el ángulo restante es igual”.

Aparecen también las propiedades de las rectas paralelas, con la consecuencia principal de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos, citando a Euclides encontramos en las proposiciones 29, 30 y 32 respectivamente:
“Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí”.
“Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace que los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos”.
“En cualquier triángulo, si un de los lados se prolonga, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores y opuestos, y la suma de los tres ángulos del triángulo es de dos ángulos rectos”.

Surgen además, propiedades de los paralelogramos, desigualdad de ángulos y lados de una triángulo, entre otras cuestiones.
Euclides concluye en este libro, con la demostración del teorema de Pitágoras y su recíproco. De esta forma en la proposición 47 encontramos: “En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto”, y en la 48: “Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto”.
Para explicar este teorema, a partir de la figura, Euclides demuestra la congruencia de los triángulos AFB, ACD y ABK, BCE. Luego halla el área de los mismos, en función a los rectángulos y cuadrados de la figura, de forma de obtener las medidas buscadas.


Segundo Libro
Es uno de los libros más cortos y trata sobre álgebra geométrica. Tiene sólo dos definiciones y catorce proposiciones. De estas últimas, hoy, ninguna es trascendente debido al avance en nuestro tiempo del álgebra simbólica.
En aquel momento las magnitudes se representaban como segmentos de línea recta. Aparece así en la primera proposición de éste libro: “Si tenemos dos líneas rectas y cortamos una de ellas en un número cualquiera de segmentos, entonces el rectángulo contenido por las dos líneas rectas es igual a los rectángulos contenidos por la línea recta que no fue cortada y cada uno de los segmentos anteriores”.
Este teorema no es otra cosa que la formulación geométrica de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

En la cuarta proposición de este libro Euclides afirma: “Si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos”.


En la quinta proposición aparece: ” Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad”.
En las proposiciones 12 y 13 se denota el interés de Euclides por la trigonometría. De esta manera, en la proposición 12 encontramos: “En un triángulo obtusángulo el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo obtuso dos veces el rectángulo contenido por uno de estos dos lados, aquel sobre el que cae la perpendicular trazada por otro de los vértices y la línea recta cortada en él por dicha perpendicular hacia el exterior desde el ángulo obtuso”. Mientras que en la proposición 13 aparece: “En un triángulo acutángulo el cuadrado del lado opuesto al ángulo agudo es menor que los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo agudo en dos veces el rectángulo contenido por uno de estos dos lados, aquel sobre el que cae la perpendicular trazada por otro de los vértices y la línea recta cortada en él por dicha perpendicular desde el ángulo agudo”.
Las demostraciones que dió Euclides a ambas proposiciones, mantienen al día de hoy su esencia, es decir, son las mismas que figuran en los libros de textos actuales de trigonometría y éstas, se realizan mediante la doble aplicación del teorema de Pitágoras.

Tercer Libro
Este libro, un poco más extenso que el anterior, cuenta con once definiciones y treinta y siete proposiciones, todas ellas relativas a la circunferencia.
En lo que refiere a definiciones encontramos: circunferencias iguales: “Circunferencias iguales son aquellas cuyos diámetros son iguales, o los radios son iguales”, recta tangente a una circunferencia: “Una recta es tangente a una circunferencia cuando, tocando a la circunferencia y siendo alargada no corta a la circunferencia”, ángulo inscripto a una circunferencia: “Cuando las rectas que comprenden el ángulo cortan a una circunferencia se dice que el ángulo está en la circunferencia” , entre otros.
Entre las proposiciones se destacan: “Si en un círculo una recta dibujada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no dibujada a través del centro, la corta formando también ángulos rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales”,”Un círculo no corta a otro círculo en más de dos punto”, “En un círculo las rectas iguales están a la misma distancia del centro, y las que están a la misma distancia del centro son iguales entre si”.
La última proposición de este libro, es el conocido teorema que dice que si desde un puno exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante, entonces el cuadrado construido sobre la tangente es igual al rectángulo contenido por la secante completa y sus segmento exterior al círculo. Citando a Euclides: “Si se determina un punto exterior a un círculo y del punto al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta al círculo y la otra cae sobre de él, y a más el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior determinada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la que cae, la recta que cae tocará al círculo”.

Cuarto Libro
En este libro, dando continuidad al anterior, Euclides nos presenta siete definiciones, entre las que encontramos: polígono inscripto: “Se dice que una figura rectilínea está circunscrita en torno a un círculo, cuando cada lado de la figura circunscrita toca a la circunferencia del círculo”, y de forma reciproca; circulo inscripto: “De manera semejante, se dice que un círculo está inscrito en una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada lado de la figura en la que está inscrita”, y lo que hoy llamamos cuerda: “Se dice que una recta está adaptada a un círculo, cuando sus extremos están en la circunferencia del círculo”.
La mayoría de las dieciséis proposiciones que aparecen en este libro, hablan de problemas relacionados a inscribir ó circunscribir; triángulos, pentágonos, hexágonos, círculos, entre otras figuras. Destacando algunos, encontramos: “Adaptar a un círculo dado una recta igual a una recta dada que no sea mayor que el diámetro del círculo”, “Inscribir un círculo en un triángulo dado”, “Circunscribir un círculo en torno a un triángulo dado”, “Inscribir un pentágono equilátero y equiángulo en un círculo dado”.


Quinto Libro
La crisis lógica que había provocado lo inconmensurable, lleva a que Euclides retrase tanto como puede el uso de las proporciones. Una vez resuelto a atacar éste problema genera la teoría general de las proporciones, creando así, el quinto volumen de Los Elementos.
En este libro aparecen dieciocho definiciones, entre las que encontramos: magnitud, razón, proporción, y de ellas Euclides afirma: “Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor”, “Una razón es determinada relación respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas”, “Se llaman proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón”.
La cuarta definición es esencialmente el axioma de Eudoxo y Arquímedes; “Se dice que las magnitudes guardan razón entre sí cuando, al multiplicarse, puedan exceder la una a la otra”.
A continuación aparecen veinticinco proposiciones, todas ellas son teoremas, entre los cuales se destacan: “Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta”, “Las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud y la misma magnitud guarda la misma razón con las magnitudes iguales”,” De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que la menor, y la misma magnitud guarda con la menor una razón mayor que con la mayor”,” Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos que quedan”.

Sexto Libro
Como lo fue anteriormente, con los libros III y IV, Euclides, dando continuidad al Quinto Libro, nos propone en éste, la semejanza de figuras. Entre las cuatro definiciones que aparecen, se destacan las primeras tres, en ellas Euclides afirma: “Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos iguales uno a uno y proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales”, “Dos figuras están inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras hay razones antecedentes y consecuentes”, “Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”.
Las proposiciones que aparecen en este volumen son treinta y tres, todas ellas relativas a figuras proporcionales, aparecen así lo que hoy conocemos como Criterios de Semejanza de Triángulos. De ellos Euclides sostiene: “Si dos triángulos tienen los lados proporcionales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos los cuales subtienden a los lados correspondientes”, “Si dos triángulos tienen un ángulo igual el uno del otro y tienen proporcionales los lados que comprenden a los otros ángulos, y tienen los ángulos que quedan de manera aparejada menores o no menores a un ángulo recto, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos que comprenden los lados proporcionales”, “Si dos triángulos tienen un ángulo igual el uno del otro, y tienen proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos a los que subtienden los lados correspondientes”.
También encontramos proposiciones que tratan la proporcionalidad entre paralelogramos: “Los paralelogramos equiángulos guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados”, “En todo paralelogramo, los paralelogramos situados alrededor de su diagonal son semejantes al paralelogramo entero y entre sí”.
Aparecen, una vez más, ejercicios de aplicación, entre los cuales encontramos: “Restar de una recta dada la parte que se pida”, “Dadas dos rectas, encontrar una tercera proporcional”,” Construir una misma figura semejante a una figura rectilínea dada, e igual a otra figura dada”.


Los volúmenes VII, VIII, y IX de los Elementos están dedicados por completo a la aritmética.
En el primero encontramos veintidós definiciones y treinta y nueve proposiciones. Entre las definiciones se puede encontrar: unidad, número, número par, número impar, cuadrados, cubos, entre otras. Las proposiciones que aparecen se relacionan todas con propiedades de números proporcionales, números primos, entre otras.
Entre las primeras proposiciones encontramos, lo que hoy en día conocemos como El Algoritmo de Euclides.
En el segundo y tercer volumen, encontramos tan sólo veintisiete y treinta y seis proposiciones, a diferencia de los restantes volúmenes de los Elementos, en éstos no hay definiciones. Las proposiciones del segundo libro tratan en su mayoría, sobre progresión aritmética. Mientras que el tercer libro trata sobre propiedades entre número cuadrados y cúbicos. La proposición 20, es el teorema que afirma que los números primos son infinitos.
El décimo libro de esta obra, es uno de los más interesantes y trata sobre los segmentos inconmensurables. Se dice que esta obra la comenzó Teateto y la terminó Euclides. Es una obra sumamente compleja que luego de las declaraciones de Simon Stiven, le llaman la cruz de los matemáticos.
Es el más extenso de todos los libros que componen Los Elementos, con dieciséis definiciones y ciento quince proposiciones. Euclides comienza definiendo segmentos conmensurables e incomnesurables y culmina con expresiones del tipo , a las que llama apótomas.
Los restantes libros, el XI, XII y XIII, forman una trilogía sobre Geometría de Sólidos ó Geometría del Espacio.
El primero de ellos contiene veintiocho definiciones y treinta y nueve proposiciones. En este libro Euclides define, entre otras cosas, sólidos, ortogonalidad entre recta y plano, inclinación de un plano, planos paralelos, sólidos semejantes, pirámide, prisma, cilindro.
Entre las proposiciones que aparecen en este libro figuran: rectas coplanares, intersección entre dos y tres planos, recta perpendicular a tres rectas dadas, etc.
Los últimos dos libros de esta obra, contienen dieciocho proposiciones cada uno. El XII, contiene área del círculo y volumen de los sólidos mas conocidos. Y el XIII contiene propiedades de los cinco sólidos platónicos. Algunos autores señalan que el objetivo de Los Elementos era la enseñanza de la construcción de los sólidos platónicos.

[1] Último gran matemático de la Escuela Alejandrina. Vivió entre los siglos III y IV d. C.

[2] Proclo. Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides.
[3] Levi, Beppo (2006).
[4] García Venturini, Alejandro (2004).
[5] Santaló, Luis (1961).